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Asset Pricing

[2] 퀀트와 가치평가의 근간이 되는 CAPM (Capital Asset Pricing Model)

도전하는아이

2024. 4. 29. 11:00

드디어 처음으로 쓸만한 모델을 접한다.

바로 CAPM(Capital Asset Pricing Model), 즉 자본자산가격결정모형 이다.

CAPM 은 사용하기 쉽고, 여러 용도에 걸쳐서 사용할 수도 있으며, 설명하기도 쉬워서 널리 사용되는 모형이다.

(설명하기 쉽다는 것은 꽤나 큰 장점이다. 설명할 수 있어야 당신의 아이디어가 받아들여질 수 있다.)

CAPM 은 금융상품의 가치평가, 투자방안 수립, 리스크 분석뿐만 아니라 기업과 자산(특히 부동산)의 감정평가 에도 쓰이는데, 최근 내가 맡은 업무에 CAPM 개념이 일부 필요한지라 예전에 배운 내용을 리뷰해보고자 한다.

00: CAPM(Capital Asset Pricing Model)에 대한 간단한 설명

CAPM 은 자본시장의 균형 하에서 위험이 존재하는 자산의 균형 수익률을 도출하는 모형 이다.

그리고 CAPM 의 주요 내용은 아래의 수식과 글로서 간단하게 요약할 수 있다.

$E\left(\combi{R}_i\right)=R_f+\combi{\beta }_i\times \left(E\left(\combi{R}_m\right)-\combi{R}_f\right)$ E (R i ) \= R f + β i × (E (R m ) − R f )

'개별 자산의 기대수익률'은

'무위험자산의 수익률'과 '체계적 위험으로 인해 발생하는 수익률'의 합과 같다.

CAPM 을 적용하기 위해서는 6가지 가정이 필요한데, 설명이 길어질 위험이 있어 먼저 CAPM 을 이루는 주요 개념인 CAL, CML, SML 부터 차근차근 알아가 본 후 본격적으로 CAPM 에 대해 탐구해보도록 하자.

01: CAL(Capital Allocation Line)과 CML(Capital Market Line)

• 먼저 CAL에 대해 알아보자.

CAL 은 '자산배분선' 으로서, 위험자산 과 무위험자산 의 비중을 변화시킬 때 나타나는 리스크 와 기대수익률 간의 관계를 나타내는 선형 그래프 를 말한다.

CAL 을 계산식으로 나타내었을 때 아래의 계산식과 같다. (Rp: 위험자산, Rf: 무위험자산, w: 비중)

$E\left(\combi{R}_c\right)=w\times E\left(\combi{R}_p\right)+\left(1-w\right)\times E\left(\combi{R}_f\right)$ E (R c ) \= w × E (R p ) + (1 − w) × E (R f )

그리고 'X축'을 리스크(분산) 'Y축'을 기대수익률 로 두고, 무위험자산 100%에서 위험자산 의 비중을 높일 경우의 변화를 그래프로 나타내면 아래와 같다. 기대수익률 은 리스크 와 정비례하여 증가한다.

CAL, Capital Allocation Line (출처: thismatter.com)

• 그렇다면 CML은 무엇인가?

CML(자본시장선) 을 설명하기 위해서는 저번 글의 Efficient Frontier(효율적 투자선) 와 CAL 의 개념이 필요하다.

(Efficient Frontier 에 대한 설명이 필요하다면 아래 링크를 클릭!)

저번 글에서 포트폴리오 내 각 자산의 비중에 따라 달라지는 기대수익률 과 리스크 의 변화 를 'Efficient Frontier' 라는 그래프로 표현을 했었다.

Q1) 그러면 좀 더 자세히 들어가서, Efficient Frontier 곡선 위의 어떤 지점이 가장 효율적인 투자라 할 수 있나?

A1) Y축의 무위험자산 수익률 'Rf점' 을 출발점으로 하고 Efficient Frontier 에 접하는 ' CAL '을 그렸을 때, 해당 CAL 이 CML 이 되며 '접점(M)' 이 가장 효율적인 Tangent Portfolio(혹은 Market Portfolio, 시장 포트폴리오) 로 지칭 할 수 있게 된다. (그래서 가장 효율적인 투자 맞다)

Q2) 그러면 이 Tangent Portfolio 를 활용해서 어떻게 투자하면 되는가?

A2) 'M점' 은 위험자산 에 100% 투자하는 것을 말하며, 'M점'의 왼쪽 지점 들은 각각의 리스크 수준에 맞게 일부의 자산만 위험자산 에 투자하며 나머지 자산은 무위험자산 에 투자하는 것을 말하며 (Lending Portfolio, 대출 포트폴리오), 'M점'의 오른쪽 지점 들은 본인이 가진 기존 자산에 더하여 추가로 차입 을 하여 위험자산에 투자하는 것을 말한다.(Borrowing Portfolio, 차입 포트폴리오)

→ 그래서 본인이 감당할 수 있는 리스크 수준에 따라, Tangent Portfolio(혹은 시장 포트폴리오) 와 무위험자산 에 비중을 나누어 투자하면 되는 것 이다.

$E\left(\combi{R}_p\right)=\combi{R}_f+\left[\frac{E\left(\combi{R}_m\right)-\combi{R}_f}{\combi{\sigma }_m}\right]\times \combi{\sigma }_p$ E (R p ) \= R f + [E (R m ) − R f σ m ] × σ p

CML(Capital Market Portfolio), 자본시장선 (출처: 카톨릭관동대학교)

여기까지 읽으면 여러가지 궁금증이 생길 수밖에 없다.

Q3) 왜 Rf점과 M점을 잇는 'CML' 이 가장 효율적인 투자가 되는 것인가?

A3) RVAR(총위험보상률) 이 가장 크니까. 즉, 리스크 를 증가시킬 때 같이 증가하는 기대수익률 이 가장 크니까.

Q4) 왜 가장 효율이 좋다는 Tangent Portfolio 는 Market Portfolio(시장 포트폴리오) 로 보는가?

A4) 여러 참고할 만한 자료에서 모두 이 부분을 다루지 않아서 답을 찾아 헤맸었다. 휴우. CAPM 을 소개하신 윌리엄 샤프(William Sharpe) 께서 '토빈(James Tobin)의 분리정리' 를 통해 주장하였는데, 그 내용은 다음과 같다.

① 먼저 '토빈의 분리정리' 는 '개인별 맞춤형 포트폴리오' 를 매번 조율하는 것보다는, 하나의 가장 효율적인 '슈퍼 포트폴리오' 를 기준으로 무위험자산 과의 비중 조절을 하는 것이 가장 좋다고 설명한다.

② 샤프 어르신 은 이 '분리정리' 를 기반으로 합리적인 투자자 모두가 슈퍼 포트폴리오 를 선택하게 되며, 모두가 포트폴리오를 동일하게 선택하였기에 그것이 곧 시장 포트폴리오 가 된다고 주장하였다.

(이후에 워렌 버핏 도 동일한 내용을 주장한 것으로 보아 틀린 말 같지가 않다.)

Q5) 그러면 시장 포트폴리오 가 뭔가?

A5) 주식시장의 모든 종목을 각각의 시총 비중에 따라 담은 포트폴리오 라고 보면 되겠다. 시장 포트폴리오 의 대용으로는 시장지수 혹은 ETF 를 사용할 수 있다.

02: SML(Security Market Line)과 CAPM

지금까지는 '포트폴리오 단계에서의 리스크 와 기대수익률 간의 관계' 를 다루었다. 이제 더 깊숙이 들어가서, '개별자산 혹은 비효율적 포트폴리오의 기대수익률 과 리스크 ' 는 어떻게 파악하는지 알아보자.

• SML(Security Market Line, 증권시장선)

'SML(Security Market Line, 증권시장선)' 이란 '초과이익이 존재하지 않는(no arbitrage) 균형상태'에서 '모든 개별자산의 기대수익률' 과 '체계적 위험(Β)' 간의 선형 관계 를 나타내는 것이 되겠다.

그러니까, 결국 '시장의 체계적 위험'으로 개별 자산 혹은 특정 포트폴리오의 '기대수익률'을 구할 수 있다는 거다.

※ 잠깐! 체계적 위험 이라고?

자산 투자에 있어서 위험은 체계적 위험(Systematic Risk) 와 비체계적 위험(Unsystematic Risk) 으로 나뉜다.

- '체계적 위험' 은 자산시장 자체가 가지는 위험 을 말하며, 물가 상승, 고금리, 환율, 원자재 가격 등과 같은 매크로 측면에서의 위험을 말한다.

- 반대로 '비체계적 위험' 은 특정 자산 고유의 위험 을 지칭하는데, 특정 기업의 실적이 급락하거나 업황에 문제가 생기는 등 해당 자산에게만 적용되는 위험을 말한다.

- 여기서 체계적 위험 만을 다루는 이유 는 앞서 합리적인 투자자는 '충분한 분산투자' 를 통해 비체계적 위험 을 제거했다고 보기 때문이다.

다시 SML 로 돌아가자면, 특정 자산이 가진 고유한 특징은 제외하고 단순히 시장의 체계적 위험 에 얼마나 연계되는지만을 고려 한다. 그리고 그 특정 자산이 시장에 얼마나 민감하게 반응하는지 나타내는 체계적 위험(민감도) 가 곧 'Β(베타)' 가 되며, 그러니 당연히 이 Β(베타) 를 구할 때 아래와 같이 공분산 개념이 들어간다.

(σi: 개별자산 i의 수익률 분산, ρi,m: 시장수익률과 개별자산 수익률의 상관관계, σm: 시장수익률의 분산)

$\combi{\beta }_i=\frac{Cov\left(\combi{R}_i,\ \combi{R}_m\right)}{Var\left(\combi{R}_m\right)}=\frac{\combi{\sigma }_i\times \combi{\rho }_{i,\ m}}{\combi{\sigma }_m}$ β i \= C o v (R i ,R m ) V a r (R m ) \= σ i × ρ i,m σ m

그리고 이 개별 자산 i의 체계적 위험을 나타내는 Β(베타) 를 사용하여 기대수익률 E(Ri) 와 선형관계를 그려보면 SML 이 된다. 계산식은 아래와 같다.

$E\left(\combi{R}_i\right)=\combi{R}_f+\left(E\left(\combi{R}_m\right)-\combi{R}_f\right)\times \combi{\beta }_i$ E (R i ) \= R f + (E (R m ) − R f ) × β i

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left(무위험이자율\right)+\left(위험\ 프리미엄\right)$ \= (무 위 험 이 자 율) + (위 험 프 리 미 엄)

SML (Security Market Line, 증권시장선), 출처: 가톨릭관동대학교

• CAPM (Capital Asset Pricing Model)

으어어 CAPM 설명하려고 너무 돌아온 것 같지만, 놀랍게도 이게 일반적인 설명의 순서이다. 아직도 좀 남았다.

지금까지 CAPM 을 설명하기 위해 글 속에 은연중에 숨어있던 가정들을 먼저 리뷰해보자. 총 6가지인데, 생각보다 실제 시장과 동떨어진 가정이 좀 있다.

$E\left(\combi{R}_i\right)=\combi{R}_f+\left(E\left(\combi{R}_m\right)-\combi{R}_f\right)\times \combi{\beta }_i$ E (R i ) \= R f + (E (R m ) − R f ) × β i

CAPM 은 SML 과 크게 다르지 않다. 즉, CAPM 은 ['개별 자산의 기대수익률'은 '무위험 자산의 수익률'과 '체계적 위험으로 인해 발생하는 수익률'의 합과 같다.] 라는 의미를 가진다.

그래서 개별 자산에게는 무위험 자산의 수익률 'Rf' 와 체계적 위험으로 인해 발생하는 기준수익률 '(E(Rm)-Rf)' 는 동일하며, 결국 위험에 대해 얼마나 노출되는지 나타내는 'Β(베타)' 에 따라 개별 자산의 기대수익률이 달라진다.

그리고 이 Β(베타) 의 크기에 따라서, 개별 자산의 시장 민감도 를 해석할 수 있다.

① Β < 0: 개별 자산이 시장과 반대 방향으로 움직인다.

② Β = 0: 개별 자산의 가격 변동과 시장과는 상관관계가 없다.

③ 0 < Β < 1: 개별 자산이 시장과 같은 방향으로 움직이나, 크기는 더 작다. (방어적 자산)

④ Β = 1: 개별 자산과 시장이 같은 방향과 같은 크기로 움직인다.

⑤ Β > 1: 개별 자산과 시장이 같은 방향이나 더 크게 움직인다. (공격적 자산)

• CAPM을 활용한 개별 자산의 가치평가

CAPM을 통한 개별자산의 평가, 출처: 가톨릭관동대학교

다만, 당연히 개별 자산이 시장 수익률에만 연동될리는 없다.

개별적인 특징에 따라 움직이는 부분도 있는데 이를 보고 'α(Jensen's Alpha)' 라 한다. 이 α(알파) 는 체계적 위험 만으로는 설명이 되지 않는 수익 이다.(우리가 흔히 주식 투자의 '알파' 를 찾아라 할 때 그 '알파' 맞다.)

자산 U는 U' 수준의 기대수익률을 가져야 하는데 U 수준의 기대수익률을 가지니 저평가된 자산이며, 반대로 자산 O 또한 체계적 위험 대비 낮은 기대수익률을 가지니 고평가된 자산이라고 할 수 있는 것이다. (그리고 실제 기대수익률과 이론 기대수익률의 차이가 곧 α(알파) 가 되겠다.)

CAPM 의 가정으로서 '가장 효율적인 포트폴리오는 곧 시장 포트폴리오'라는 내용이 적용되었지만...

우리가 어찌 시장 수익률로 만족할 수 있겠는가? 시장 수익률로 만족할 것 같으면 그냥 S&P500 ETF 살텐데...

결국 우리는 α(알파) 를 찾아나서야 한다. 앞으로 α(알파) 를 탐색하는 다른 모델에 대해 알아보도록 하자.

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